Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты презентация

Теплопроводность при наличии
внутренних источников теплоты
Примеры:
джоулева теплота при пропускании электрического тока;
экзо- и эндотермические химические реакции;
выделение (поглощение) теплоты при перестройке кристаллических решеток;
выделение (поглощение) теплоты при изменении агрегатного состояния тела;
выделение (поглощение) теплоты в атомных реакторах….

Теплопроводность при наличии
внутренних источников теплоты
Классификация источников теплоты
По форме:
Точечные;
Линейные;
Поверхностные;
Объемные.
По направлению действия:
Положительные (теплота выделяется);
Отрицательные (теплота поглощается).

Однородная пластина
Пограничные
слои

Дифференциальное уравнение
теплопроводности
При бесконечная пластина.
В стационарном процессе:
Найти:
Дифференциальное
уравнение теплопроводности: (1)
Для стационарного процесса: ,
тогда (2) где
оператор Лапласа, тогда после деления (2) на
дифференциальное уравнение теплопроводности
в бесконечной пластине:

Дифференциальное уравнение
теплопроводности
Дифференциальное уравнение примет вид:
(3)

Граничные условия
Условия теплоотдачи одинаковы с обеих сторон пластины,
поэтому температурное поле симметричное, а тепловыделения
в обеих половинах пластины одинаковы, то есть можно рас-
сматривать только ее правую
половину. Тогда граничные условия будут:
(4)

Решение
Интегрируем (3):
(5)
разделяем переменные:
.

Решение
После второго интегрирования:
(6)
.

Константы интегрирования
Константы интегрирования находятся из граничных
условий (4) и уравнения (5) при: , (7) . (8)
Подставляем (8) в (4): (9)
После сокращения на λ имеем: . (10)
Подставляем (10) в (6) при и с учетом, что
получаем: . (11)
Приравнивая (10) и (11),
имеем: , откуда: (12)

Частное решение
Подставим константы интегрирования (7) и (12) в (6):
(13)

Тепловой поток
По закону Фурье:
Тепловой поток, отдаваемый от правой половины пластины:
(14)

Температуры
Если температура стенки известна или вычислена по уравнению (10), то есть заданы граничные условия I рода:
(15)
тогда при

Однородный цилиндр
Пограничные
слои

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Для бесконечного цилиндрического стержня .
При стационарном режиме
Найти
Для стационарного процесса:
тогда: (2)

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Оператор Лапласа в полярных (цилиндрических) координатах:
(3)
В бесконечном цилиндре температура изменяется только по по радиусу, то есть:

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
После деления на:
получим дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра при стационарном режиме:
(4)

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
Граничные условия:
(5)

Решение
Найти:

Решение
Обозначим:
тогда

Общее решение
.

Частное решение
Подчиним граничным условиям:

Частное решение
Тогда:

Частное решение
Тогда:

Частное решение
Температура на оси цилиндра :
Температура на поверхности цилиндра :

Тепловой поток
По закону Фурье:

Тепловой поток
Полный тепловой поток:

Цилиндрическая стенка
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра при стационарном режиме:
Общее решение
(1)

Теплообмен только на внешней поверхности
Расчетная схема

Теплообмен только на внешней поверхности
Граничные условия:

Теплообмен только на внешней поверхности
Найдем константы

Теплообмен только на внешней поверхности
Температура на внешней поверхности:
Из второго граничного условия:

Теплообмен только на внешней поверхности
Избавимся от неизвестной температуры на внешней поверхности, приравняв правые части уравнений, и найдем вторую константу:

Теплообмен только на внешней поверхности
Частное решение:

Теплообмен только на внешней поверхности
Температура на внешней поверхности:

Теплообмен только на внешней поверхности
Плотность теплового потока на внешней поверхности:

Теплообмен только на внешней поверхности
Температура на внутренней поверхности:

Теплообмен только на внутренней поверхности
Расчетная схема:

Теплообмен только на внутренней поверхности
Граничные условия:

Теплообмен только на внутренней поверхности
Найдя константы, получим частное решение:

Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
В этом случае существует максимум температуры внутри стенки при
т.е. здесь тепловой поток равен нулю (тепловая изоляция). Таким образом, можно использовать полученные ранее решения. Задача сводится к отысканию значения .
В одном случае следует подставить , в другом

Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Находим :

Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Вычитаем из первого уравнения второе:

Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Найдем :

Теплообмен на внутренней и наружной поверхности
Зная , легко находим распределение температуры во внутреннем и наружном слое по соответствующим формулам.