Аксиомы стереометрии и следствия из них презентация

Лекция №1
Аксиомы стереометрии и следствия из них

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве
В планиметрии основными фигурами являются точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость.
Наряду с этими фигурами будем рассматривать геометрические тела и их поверхности.
1. Аксиомы стереометрии

Плоскость - геометрическая фигура простирающаяся неограниченно во все стороны.
На чертеже плоскости чаще всего изображаются параллелограммами и обозначаются греческими буквами; иногда плоскости изображаются другими плоскими фигурами (на рисунке 1 представлены возможные изображения плоскостей).
Замечание: В каждой плоскости пространства выполняются не только все аксиомы планиметрии, но также и все остальные факты, доказанные в курсе 7-9 классов.

А1: Через любые три не лежащие на одной прямой точки можно провести единственную плоскость (рисунок 2).
Задание плоскости тремя точками породило обозначение плоскости тремя точками (к примеру, на рисунке 2 изображена плоскость (ABC)).

А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
( рисунок 3 )

Замечание : Из аксиомы А2 следует, что если прямая и плоскость имеют 2 общие точки, то эта прямая лежит в плоскости, т.е. имеет с ней бесконечное число общих точек.
Если прямая и плоскость не имеют
общих точек, то говорят, что
прямая параллельна плоскости
(на рисунке 4 a⎟⎜α).
Если прямая и плоскость имеют
ровно одну общую точку, то говорят, что
прямая пересекает эту плоскость
(на рисунке 5 a ∩ α = A).
К примеру, всякая прямая, лежащая
в плоскости пола стандартной комнаты,
параллельна плоскости потолка этой же
комнаты, поскольку они не имеют общих точек.

А3: Если две несовпадающие плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.
Аксиома А3 фактически утверждает, что
две плоскости либо совпадают,
либо пересекаются по прямой (на рисунке 6 α ∩ β = a),
либо вовсе не имеют общих точек.
Две плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными (на рисунке 7 α⎟⎜β).

2. Следствия из аксиомы стереометрии
Теорема о задании плоскости прямой и не лежащей на ней точкой: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
Дано:
a, т.A ∉ a.
Доказать:
∃!α: A ∈ α, a ⊂ α.
Доказательство:
∃: Возьмем ∀ т. B, C ⊂ a (рисунок 8) и проведем через 3 неколлинеарные точки A, B и C плоскость α (это можно сделать в соответствии с аксиомой А1). Докажем, что α – искомая плоскость: т. В и т. С лежат в плоскости α , то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую а.
Доказанная только что теорема утверждает, что плоскость задается прямой и не лежащей на ней точкой. В связи с этим используется следующее обозначение плоскости, проходящей через прямую a и не лежащую на ней точку A: плоскость (a; A).

Теорема о задании плоскости двумя пересекающимися прямыми: Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Доказательство:
∃: Возьмем на прямой b ∀ т. B, отличную от A (рисунок 9), и проведем через прямую a и точку B ∉ a плоскость α (это можно сделать в соответствии с теоремой о задании плоскости прямой и не лежащей на ней точкой). Докажем, что α – искомая плоскость: точки A и B, принадлежат прямой b, следовательно по А2 прямая b ⊂ α.
!: Допустим, что помимо плоскости α существует плоскость β, содержащая прямые a и b. B ∈ b ⊂ β, ⇒ плоскость β содержит прямую a и точку B. Таким образом, через прямую a и не лежащую на ней точку B проходят сразу 2 плоскости α и β, что противоречит теореме о задании плоскости прямой и не лежащей на ней точкой. Следовательно, плоскость α – единственная.

Замечание : Требование принадлежности параллельных прямых одной плоскости является существенным: Из того, что прямые не пересекаются, не вытекает их параллельность. К примеру, если рассмотреть две прямые, одна из которых лежит в плоскости пола, а вторая – в плоскости потолка стандартной комнаты, то, не имея общих точек, они далеко не всегда будут параллельными, поскольку не всегда будут лежать в одной плоскости. Позже будет показано, что такие прямые называются скрещивающимися.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
(на рисунке 10 a⎟⎜b).