Диференціальне числення. Визначення функції ( лекція 1.1) презентация

Визначення функції
Якщо кожному елементу х з множини Х по визначеному закону чи правилу ставиться у відповідність один і тільки один елемент у з множини У, то говорять що на множині Х задана функція y=f(х).
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом,
у – залежною, або значенням функції.

Способи задання функції
Табличний спосіб.
Графічний спосіб .
Аналітичний спосіб задання функції (за допомогою формули). У загальному вигляді: . Наприклад:
- степенева функція , ;
- лінійна функція ;
- показникова функція ;
- логарифмічна функція ;
- тригонометричні функції:

Властивості функцій
Множина усіх значень Х називається областю визначення функції D(f), а множина значень У, називають множиною значень функції E(f).
Функція , називається парною, якщо для будь-якого значення аргументу х з області визначення функції виконується рівність:
Функція , називається непарною, якщо для будь-якого значення х з області визначення функції виконується рівність:
Функція називається монотонно зростаючою на всій області визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення х з області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність
Якщо за тих же умов виконується нерівність: тоді функція називається монотонно спадною.

Властивості функцій

Елементарні функції
Степенева функція

Елементарні функції
Степенева функція:
Степенева функція y=xn,
де n=-(2k+1),
y
0
x
Степенева функція y=xn,
де n=-2k

Елементарні функції
Лінійна функція: , де k і b - будь-які постійні числа.

Елементарні функції
Показникова функція: , де а - додатне стале число, відмінне від одиниці .
Графік функції .
Випадки: (1) 0<а<1, (2) a>1.

Елементарні функції
Логарифмічна функція: , де - а додатне стале число.
1
x
0
y
1
(2)
(1)
y=x
Графіки функції
(1) 0 (2) a>1.

ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ
Графічне зображення значення функції f(a) та границі функції A в точці а.
Число А називається границею функції f(x) при х, що прямує до а (х→ а), якщо для будь-якого як завгодно малого числа знайдеться таке мале число , що для всіх х, які задовольняють умову , виконується нерівність .
Границю функції записують у вигляді:

Теореми про границі функції