Геометрична прогресія. Формула суми геометричної прогресії презентация

01
02
Означення геометричної прогресії
03
04
Теоретичні знання
Основні формули і властивості її елементів
Практичні вміння
Вміння розв'язувати задачі на знаходження елементів і знаменника
Вміння розв'язувати типові задачі на властивості елементів
Що ми знаємо і вміємо

Геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q, що називається знаменником геометричної прогресії.
q – знаменник геометричної прогресії;
b1 – перший член;
bn – n- й член;
n – число членів
Згадай, ти це знаєш!
1
Приклад: 2; 6; 18; 54
b1, b1q, b1q ², b1q³,… -геометрична прогресія.

Яка послідовність є геометричною прогресією?

Знайти знаменник прогресії

Властивість геометричної прогресії:
Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.
Приклад: 62=2·18
182=6·54
Згадай, ти це знаєш!
2

Формула n-го члена геометричної прогресії
Приклад. Знайдемо шостий член геометричної прогре­сії (b1): 1; 5; … .
Розв’язання
b1 = 1; q = = 5; b6 = b1 ∙ q5 = 1 ∙ 55 = 3125.
Відповідь: 3125.
Згадай, ти це знаєш!
3

Сьогодні на уроці :
Розглянемо прикладні задачі на прогресії
Розв'яжемо типові задачі
Розглянемо легенду про шахи

Історична задача
Задача із папірусу Рінда
“Є 7 будинків, в кожному будинку по 7 котів, кожен кіт з’їдає 7 мишей, кожна миша з’їдає по 7 колосків ячменю, кожен колосок, якщо посіяти зерно з нього, дає 7 мір ячменю. Знайти суму загального числа будинків, котів, мишей, колосків і мір”.
Ця стародавня задача на геометричну прогресію не раз зустрічається в різних народів з дещо зміненим текстом.

Умова математичною мовою:

Розв'язання:

Виникає питання:
Чи обов'язкове визначати всі елементи прогресії, суму яких треба знайти ?
Чи є формула, яка дозволяє виконати це раціональним способом?
04.04.2022

Формула суми n перших елементів:
04.04.2022

Дано:(bn)= b1; b2; b3;…; bn- геометрична прогресія.
Sn= b1+ b2+ b3+…+ bn
qSn=b1q+b2q+b3q+…+bn-1q+bnq
· q
qSn- Sn= bnq- b1
Sn·(q-1) = bnq- b1
Знайти: S
Розв’язування:

Умова математичною мовою:

Розв'язання:

Типові задачі на визначення суми геометричної прогресії
Розвиваємо практичне вміння розв'язування задач .

Зрозумій, це просто !
Давня китайська мудрість говорить “.. покажи мені – і я запам’ятаю, дай мені діяти самому – і я навчусь..”
5

№ 1. Дано: (bn) - геометрична прогресія.
b1= -32, b2= -16
Знайти: S6 Розв’язування:
Відповідь: S6= - 63

№ 2. Дано: (bn)- геометрична прогресія.
q=3, S4=560 Знайти: b1
Розв’язування:
Відповідь: b1=14

04.04.2022
№ 3

Прикладні задачі на геометричну прогресію
Математика безумовно має прикладне значення.
Яку б тему ми не вивчали, існують задачі економічного, екологічного, хімічного, фізичного змісту,
які розв'язуються за допомогою математичного апарату.

В посудині є 50 л 80% спирту. Скільки літрів чистого спирту буде в посудині, якщо з неї відливати 20 раз по 1 л рідини і щоразу доливати по 1 л чистої води (відповідь округлити до десятих частин)?
№1
Розв’язання:
Знайдемо початкову кількість спирту:
50⋅0,8=40(л).
Концентрація спирту у розчині постійно зменшується за правилом спадної геометричної прогресії.

04.04.2022
Нехай прогресія (сn ), тоді її перший член
с1 =0,8, а останній с21 ( так як 20 раз проводився певний цикл переливання).
Об’єм рідини постійний (50 л),бо доливали і відливали одну й ту саму кількість літрів ( 1 л ).
Кількість спирту наприкінці циклу 50⋅ с21 ,
А за крок до цього ця ж сама кількість спирту
(50-1)⋅ с20 , тоді 50⋅ с21 = (50-1)⋅ с20 .

Доведено, що
при підвищенні температури у арифметичній прогресії швидкість деяких хімічних реакцій зростає у геометричній прогресії.
04.04.2022

Біологія
Відомо , що бактерії розмножуються за законом:
одна бактерія ділиться на дві.
Саме тому їх кількість швидко зростає, якщо їх помістити в сприятливе середовище.
В повсякденному житті, коли хочуть підкреслити швидке зростання якоїсь величини, кажуть:
“зростає в геометричній прогресії ”.

04.04.2022
Бактерія, потрапивши в організм,
до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д.
Скільки бактерій стане в організмі
через добу?
№2
Розв’язання:
1 доба=24год=1440хв
Введемо геометричну прогресію:
Кількість поділу: 1440:20=72.

04.04.2022

Інтенсивність розмноження бактерій використовується в…
в харчової
промисловості
для виготовлення
кисломолочних
Продуктів
при квашении,
заквасці та
засолці.
в фармацевтичній
промисловості
(для створення ліків та вакцин)
в сільському
господарстві:
для
Виготовлення
силосу
кормів
для тварин