- Главная
- Математика
- Измерение геометрических величин
Содержание
- 2. В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом шагу встречаются и известны с
- 3. Измерение -- процесс достаточно произвольный. В популярном детском мультфильме длину удава измеряют в попугаях. В повседневном
- 4. Измерение геометрических величин − одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными
- 5. Величина − одно из основных понятий математики, возникшее в древности и подвергшееся в процессе развития математики
- 6. I. Пропедевтика I.1. Начальная школа: примеры величин (длина, площадь, масса, стоимость); единицы их измерения; примеры зависимостей
- 7. Понятие величины − одно из фундаментальных понятий математики, физики, химии и других наук. При изучении раздела
- 8. В учебнике математики Э.И. Александровой (2 книги) (система Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова) по разделу программы
- 9. В учебнике математики И.И. Аргинской и Е.И. Ивановской (система академика Л.В. Занкова) по разделу «Измерение величин»
- 10. В учебнике математики Т.Е. Демидовой и др. (3 части) (образовательная система «Школа 2100») по разделу «»Измерение
- 11. В учебнике математики Н.Б. Истоминой (традиционная система обучения) на раздел программы «Измерение величин» рассматриваются: длина, площадь,
- 12. В учебнике математики М.И. Моро и др. (2 части) («Школа России») по разделу «»Измерение величин» рассматриваются
- 13. В учебнике математики Л.Г. Петерсон (3 части) дано большое количество заданий развивающего характера, заданий на переводы,
- 14. В учебнике математики В.Н. Рудницкой и Т.В. Юдачевой («Начальная школа ХХI века») дано большое количество заданий
- 15. Пусть имеем бесконечное множество М с введенным в нем отношением 1) a, b: a 2) a,
- 16. 10) Пусть даны две последовательности величин из М: a1 Если какую -либо величину с∈М принять за
- 17. Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды, на двух различных уровнях. На
- 18. Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме: Определение длины отрезка как вещественного числа,
- 19. При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема: простая фигура площадь фигуры как величина площадь прямоугольника
- 20. При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный элемент, не присутствующий в формулировке
- 21. При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный элемент, не присутствующий в формулировке
- 22. ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
- 23. В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение
- 24. 1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела. 2. Найти пределы интегрирования
- 25. В соответствии с Кодификатором элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов государственной (итоговой) аттестации
- 26. В соответствии с Кодификатором требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов
- 27. В соответствии с Кодификатором элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2011
- 29. Скачать презентацию
В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом
В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом
Математика, механика, физика стали именоваться точными науками потому, что благодаря измерениям они получили возможность устанавливать точные количественные соотношения, выражающие объективные законы природы. Д.И.Менделеев выразил значение измерений для науки следующим образом: «Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Точная наука немыслима без меры». Все отрасли техники – от строительной механики и машиностроения до ядерной энергетики – не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукции. Особенно возросла роль измерений в наш век широкого внедрения новой техники, развития электроники, автоматизации, атомной энергетики, космонавтики. Высокая точность управления полетами космических аппаратов достигнута благодаря современным совершенным средствам измерений, устанавливаемым как на самих космических аппаратах, так и в измерительно-управляющих центрах.
Во всех случаях проведения измерений, независимо от измеряемой величины, метода и средства измерений, есть общее, что составляет основу измерения, − это сравнение опытным путем данной величины с другой подобной ей, принятой за единицу.
ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН
Измерение -- процесс достаточно произвольный. В популярном детском мультфильме длину удава
Измерение -- процесс достаточно произвольный. В популярном детском мультфильме длину удава
В далеком прошлом, на заре математики, практические потребности пастушества и земледелия вывели на первое место измерение длин и расстояний (а не, скажем, объемов и емкостей). Развитие строительной и землемерной практики обусловили переход к измерению углов и поверхностей. Абстрактная геометрическая наука, отражая логику развития практики и производства, двигалась от изучения линии через поверхность -- к объему. Одно измерение прибавлялось к другому, в результате в классической Евклидовой геометрии объем оказался трехмерным (и соответственно плоскость -- двухмерной, а линия -- одномерной).
РОЛЬ И МЕСТО ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В ОБРАЗОВАНИИ ШКОЛЬНИКОВ
Измерение геометрических величин − одна из основных линий школьного курса геометрии,
Измерение геометрических величин − одна из основных линий школьного курса геометрии,
РОЛЬ И МЕСТО ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В ОБРАЗОВАНИИ ШКОЛЬНИКОВ
Величина − одно из основных понятий математики, возникшее в древности и
Величина − одно из основных понятий математики, возникшее в древности и
Общее понятие величины − непосредственное обобщение конкретных величин (длинны, площади, объема, массы и т.д.), свойства которых сформулированы еще в «началах» Евклида. Впоследствии эта величина получила название «положительной скалярной величины»,
чтобы отличить ее от более общих понятий величины
(векторной и др.).
Интуитивно мы представляем себе, что величина может
быть больше или меньше, две однородные величины могут
складываться, ее можно измерить, понимая под этим
сравнение данной величины с однородной, принятой
за единицу измерения. Однако сформулировать
это понятие в математических терминах не так то
просто.
РОЛЬ И МЕСТО ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В ОБРАЗОВАНИИ ШКОЛЬНИКОВ
I. Пропедевтика
I.1. Начальная школа: примеры величин (длина, площадь, масса, стоимость);
I. Пропедевтика
I.1. Начальная школа: примеры величин (длина, площадь, масса, стоимость);
I.2. 5-6 классы: примеры величин (длина, площадь, объем, градусная мера угла); единицы измерения длин, площадей, объемов и углов; масса тел; площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника, объем прямоугольного параллелепипеда, формулы длины окружности и площади круга.
II. Понятие о площади, основные свойства площади, площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, отношение площадей подобных фигур, площадь круга и его частей, решение задач на вычисление неизвестных длин, углов и площадей − 7-9 классы.
III. Измерение углов. Радианная мера угла. Тригонометрия.
IV. Понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади сферы − 10-11 классы.
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИЗУЧЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Понятие величины − одно из фундаментальных понятий математики, физики, химии и
Понятие величины − одно из фундаментальных понятий математики, физики, химии и
Данный раздел «Измерение величин» является одним из наиболее трудных для осмысления. Ученикам необходимо осознать отличие понятий «величина» (объективная реальность) и «мера величины» (количественное значение величины, которое зависит от единицы измерения), правильно переводить одни единицы измерения в другие.
В начальной школе при решении задач нередко измеряют количество в апельсинах, попугаях или снеговиках, терзаясь при этом как сократить новое слово и забывая, что количество измеряется в «штуках».
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики Э.И. Александровой (2 книги) (система Д.Б. Эльконина -
В учебнике математики Э.И. Александровой (2 книги) (система Д.Б. Эльконина -
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики И.И. Аргинской и Е.И. Ивановской (система академика Л.В.
В учебнике математики И.И. Аргинской и Е.И. Ивановской (система академика Л.В.
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики Т.Е. Демидовой и др. (3 части) (образовательная система
В учебнике математики Т.Е. Демидовой и др. (3 части) (образовательная система
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики Н.Б. Истоминой (традиционная система обучения) на раздел программы
В учебнике математики Н.Б. Истоминой (традиционная система обучения) на раздел программы
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики М.И. Моро и др. (2 части) («Школа России»)
В учебнике математики М.И. Моро и др. (2 части) («Школа России»)
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики Л.Г. Петерсон (3 части) дано большое количество заданий
В учебнике математики Л.Г. Петерсон (3 части) дано большое количество заданий
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
В учебнике математики В.Н. Рудницкой и Т.В. Юдачевой («Начальная школа ХХI
В учебнике математики В.Н. Рудницкой и Т.В. Юдачевой («Начальная школа ХХI
ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ПРОПЕДЕВТИКА (НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА)
Пусть имеем бесконечное множество М с введенным в нем отношением <
Пусть имеем бесконечное множество М с введенным в нем отношением <
1) a, b: a < b, a = b, b < a, причем имеет место одно из трех соотношений;
2) a, b, с: a < b, b < с, a < с − транзитивность ”<”;
3) a, b: с: a + b = с − замкнутость М относительно сложения;
4) a, b: a + b = b + a − коммутативность;
5) a, b, с: a + (b + с) = (a + b)+с − ассоциативность сложения;
6) a, b: a + b > a − монотонность сложения;
7) a, b: a > b ⇒ ∃!С: b + с = a − возможность вычисления: a − b = c;
8) а, n, b: nb = a − возможность деления величины на натуральное число: a:n = b;
9) a, b, n∈N: a < nb −аксиома Архимеда;
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
10) Пусть даны две последовательности величин из М: a1причем для любой величины «с» при достаточно большом номере n: bn − an< c, т.е. члены последовательности (an) и (bn) неограниченно приближаются друг к другу. В таком случае существует единственная величина х∈М, которая больше всех an и меньше всех bn − аксиома непрерывности.
Если какую -либо величину с∈М принять за единицу измерения, то всякая величина системы М однозначно представима в виде: a = qc, где q − положительное действительное число: q ∈ R+ (q>0).
Меру а при единице измерения с обозначим через m(a), т.е. если a = qc, то m(a) = q.
Мера обладает следующими свойствами:
(1) m - функция с областью определения M и областью значения R, т.е. m отображает M на R+
(2) монотонность меры;
(3) аддитивность меры;
(4) мера единицы измерения равна 1.
Перечисленные свойства полностью характеризуют меру m, существует единственная функция: M → R+ обладающее этими свойствами, а именно мера m(a) величины а при единице измерения с.
Перечисленные свойства общего понятия величины и меры величины находят применения (в явном или не явном виде) при изучении конкретных геометрических величин (длины, площади и объема) в ШКМ.
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
10) Пусть даны две последовательности величин из М: a1 ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Если какую -либо величину с∈М принять за единицу измерения, то всякая величина системы М однозначно представима в виде: a = qc, где q − положительное действительное число: q ∈ R+ (q>0).
Меру а при единице измерения с обозначим через m(a), т.е. если a = qc, то m(a) = q.
Мера обладает следующими свойствами:
(1) m - функция с областью определения M и областью значения R, т.е. m отображает M на R+
(2) монотонность меры;
(3) аддитивность меры;
(4) мера единицы измерения равна 1.
Перечисленные свойства полностью характеризуют меру m, существует единственная функция: M → R+ обладающее этими свойствами, а именно мера m(a) величины а при единице измерения с.
Перечисленные свойства общего понятия величины и меры величины находят применения (в явном или не явном виде) при изучении конкретных геометрических величин (длины, площади и объема) в ШКМ.
Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды,
Измерение геометрических величин (длины, площади, объема) изучается в школьном курсе дважды,
На первом, экспериментальном, уровне (1-6 классы) учатся измерять длины отрезков, площади простейших плоских фигур и объёмы простейших пространственных тел. На этом уровне не дается определений длины, площади и объема. Цель состоит в том, чтобы создать у учащихся ясные интуитивные понятия.
Второй, теоретический, уровень (7-11 классы) характеризуется единым подходом к измерению геометрических величин.
`Школьная теория измерения геометрических величин должна строиться с сохранением некоторой общей схемы. Это относится прежде всего к определения понятий: «длины», «площадь», «объем».Повторение одной и той же схемы определения способствует обобщению, формирования такого представления: из аналогии вытекает, что эти понятия относятся к одному более общему понятию, связывающему их. Раскрытие этой связи в процессе обучения способствует более глубокому пониманию и прочности знаний. Каждое из трёх понятий определятся как вещественное число, удовлетворяющее условиям, которые характеризуют общие понятия меры множества.
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: УРОВНИ ИЗУЧЕНИЯ
Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:
Определение длины
Теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме:
Определение длины
Описание процедуры измерения отрезка;
Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда;
Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения ровна любому, наперед заданному положительному числу (с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности).
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА
При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:
простая фигура
площадь фигуры
При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:
простая фигура
площадь фигуры
площадь прямоугольника
площадь треугольника − площадь параллелограмма − площадь трапеции − площадь многоугольника
площадь подобных фигур
площадь круга.
Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников.
Площадь простой фигуры − это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1) равные фигуры имеют равные площади;
2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;
3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;
В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно.
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный
При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный
При решении различных математических задач часто бывает полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с
простое тело
объем тела как величина
объем прямоугольного параллелепипеда − объем треугольной призмы − объем призмы
тела, имеющие равные объемы
объем полной треугольной пирамиды −
объем произвольной полной пирамиды −
объем усеченной треугольной пирамиды −
объем произвольной усеченной пирамиды
объемы подобных тел
объем тел вращения
решение практических задач .
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: ОБЪЁМ ТЕЛА
1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического
1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического
2. Найти пределы интегрирования а и b.
3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси ОХ через точку с абсциссой х.
Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(X).
4. Проверить непрерывность функции S(X) на [a;b].
5.
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ Х ВЕЛИЧИН: АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЁМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
В соответствии с Кодификатором элементов содержания по математике для составления контрольных
В соответствии с Кодификатором элементов содержания по математике для составления контрольных
1. Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости
2. Представление зависимости между величинами в виде формул
По теме «Измерение геометрических величин»:
3. Длина отрезка, длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой
4. Длина окружности
5. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
6. Площадь прямоугольника
7. Площадь параллелограмма
8. Площадь трапеции
9. Площадь треугольника
10. Площадь круга, площадь сектора
11. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара.
ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН: ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
В соответствии с Кодификатором требований к уровню подготовки выпускников по математике
В соответствии с Кодификатором требований к уровню подготовки выпускников по математике
решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ: ТРЕБОВАНИЯ
К УРОВНЮ ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
В соответствии с Кодификатором элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных
В соответствии с Кодификатором элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных
1. Величиной угла и длиной дуги окружности
2. Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью
3. Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника
4. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными прямыми, параллельными плоскостями
5. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора
6. Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
7. Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ: ТРЕБОВАНИЯ
К УРОВНЮ ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ