Пределы. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности презентация

Числовой последовательностью
называется функция заданная на
множестве натуральных чисел
Числовая последовательность
общий или n-ый член числовой
последовательности
Пример числовой последовательности
Определение

Число называется пределом последовательности
, если
Предел числовой последовательности
- окрестность точки
Определение
В этом случае записывают, что или
при
Последовательность, имеющая предел называется
сходящейся, в противном случае расходящейся
Геометрический смысл определения

Примеры
1.
2.

Если каждому элементу x множества X ставится в
соответствие один и только один элемент y множества
Y, то говорят, что на множестве X задана функция
y=f(x), то есть
Функции действительного аргумента
Определение
Пусть X и Y – некоторые непустые множества
Множество X – область определения функции
Y – множество значений функции
Если элементы множеств X и Y являются действительными числами, то функция f называется числовой или функцией действительного аргумента

Функции действительного аргумента
Основными элементарными функциями являются:
степенная функция
показательная функция
логарифмическая функция
тригонометрические функции
обратные тригонометрические функции
Способы задания функции:
аналитический, табличный, графический, словесный

Число А называется пределом функции в точке x0 или
при , если
будет выполнено
Предел функции
Определение
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0
В этом случае записывают, что .

Предел функции
Геометрический смысл определения
Равенство означает, что если для любой - окрестности точки А найдется такая -окрестность точки x0, что для всех из этой
- окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в - окрестности точки А

Число А называется пределом функции при ,если
Предел функции
Пусть функция y=f(x) определена на всей числовой прямой .
Определение
В этом случае записывают, что .

Число А2 называется пределом функции y=f(x) в точке
x0 справа , если
Число А1 называется пределом функции y=f(x) в точке
x0 слева , если
Односторонние пределы
Предел функции слева
Односторонние пределы вводят в рассмотрение, когда важен способ приближения x к x0
Предел функции справа

Односторонние пределы
не существует

Функция y=f(x) называется бесконечно большой
при , если
Бесконечно большие функции
Определение
В этом случае записывают, что .

Функция y=f(x) называется бесконечно малой
при , если
Бесконечно малые функции
В этом случае записывают, что .
Определение

Свойства бесконечно малых функций
- бесконечно малые функции
- ограниченная функция
1
2
3

Если функция y=f(x) является бесконечно большой
при ( ), то функция
является бесконечно малой при ( )
Если функция является бесконечно малой при
( ) и , то функция
является бесконечно большой при ( )
Теорема о связи б.б.ф. и б.м.ф.
Теорема
Обратная теорема

Если число А является пределом функции y=f(x) при
( ) и - бесконечно малая функция
при ( ), то функцию f(x) в окрестности
точки x0 можно представить в виде суммы числа А и
бесконечно малой функции ( )
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Теорема
Обратная теорема
Если функцию y=f(x) в окрестности точки x0 можно
представить в виде суммы числа А и бесконечно
малой функции при ( ), то число А
является пределом функции f(x) при ( )

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов
Основные теоремы о пределах
Теорема 1
Пусть f(x) и g(x) – функции, для которых существуют пределы
Аналогично при
Следствие
Функция может иметь только один предел при

Основные теоремы о пределах
Теорема 2
Теорема 3
Следствие

Основные теоремы о пределах
Примеры
1)
2)

Признаки существования пределов
Теорема 1
о пределе промежуточной
функции
Если функция f(x) заключена между двумя функциями и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу,
то она также стремится к этому пределу

Признаки существования пределов
Всякая монотонно возрастающая
или монотонно убывающая
и ограниченная функция
имеет предел при
Теорема 2
о пределе монотонной
функции
Эта теорема справедлива и для последовательности

Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Пример

Замечательные пределы
Второй замечательный предел
Пример

Эквивалентные бесконечно малые
~
при
при
- бесконечно малые функции
одинакового порядка

Основные теоремы о пределах
Примеры
1)
2)
-бесконечно малая более высокого порядка малости,
чем
~ x
3)
при
~ x
при

Эквивалентные бесконечно малые
Теорема
о замене бесконечно
малой на эквивалентную
~
при
~
при
Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить
эквивалентной ей бесконечно малой

Эквивалентные бесконечно малые
Пример
sin x ~ x, при
tg x ~ x, при
sin 3x ~3 x, при
tg 6x ~ 6x, при

Таблица эквивалентности

Определение непрерывности функции y=f(x) в точке x0
Определение 1
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
эта функция определена в точке x0 и ее окрестности ;
2. существует
3.
Определение 2
приращение аргумента
приращение функции
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
эта функция определена в точке x0 и ее окрестности ;
2.

Определение непрерывности функции y=f(x)на интервале (а,b)
Определение
Функция y=f(x) называется непрерывной на интервале
(a,b) , если она непрерывна в каждой точке этого
интервала
Элементарные функции непрерывны во всех точках,
в которых они определены
С – постоянная
- степенная
- показательная
- логарифмическая
тригонометрические

Точки разрыва функции
Определение
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x),
если в ней не выполняется по крайней мере одно из
условий непрерывности функции
Классификация точек разрыва
Точки разрыва
I рода
II рода
точки устранимого разрыва
точки скачка

Точки разрыва
Определение 1
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) I рода,
если существуют конечные пределы
причем не все 3 числа равны между собой
Определение 2
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке
не существует или равен

Точки устранимого разрыва
Точка x=x0 называется точкой устранимого разрыва функции
y=f(x),если существуют конечные пределы
причем
Функция имеет
устранимый разрыв в точке 0
x
y

Точки скачка
Точка x=x0 называется точкой скачка функции y=f(x),если
существуют конечные пределы
причем , где - скачок функции
y=f(x) в точке x0
2
x
y
Функция имеет
скачок в точке 2
-1
5
- скачок

Точки разрыва II рода
Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке
не существует или равен
Функция имеет
разрыв II рода в точке 2
x
y

Свойства непрерывных функций
непрерывная
функция в точке x0
непрерывные функции в точке x0
y=f(x); y=g(x)
непрерывная
функция в точке x0
непрерывная
функция в точке x0

Свойства функций непрерывных на отрезке
Если функция непрерывна на отрезке ,то
она достигает на этом отрезке своего наибольшее и
наименьшее значения, т.е. существуют точки ,
принадлежащие отрезку такие, что для любых точек
из отрезка выполняется неравенство
m
M
- наименьшее значение m
- наибольшее значение M
Теорема Вейерштрасса

Свойства функций непрерывных на отрезке
Следствие из теоремы Вейерштрасса
Если функция непрерывна на отрезке
то она ограничена на нём, т.е. существует число
такое, что для всех точек x из отрезка

Свойства функций непрерывных на отрезке
Если функция непрерывна на отрезке , и
принимает на концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то
на этом отрезке она принимает и все промежуточные
значения между А и В.
Теорема Больцано-Коши
a
b
c
A
B
C
f(a)
f(b)
f(c)