Элементы финансовой математики. Основы финансовых вычислений. Лекция 1 презентация

Литература:
Четыркин Е.М. Финансовая математика: учебник. М., 2011. – 392 с.
Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления: теория и практика: учебно-справочное пособие. М., 2012. – 408 с.
Левин Л.А. Финансовая математика: учебно-метод. пособие. М., 2006. – 111 с.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Предмет финансовой математики
Финансовая математика – это модели и алгоритмы финансовых расчетов.
Базовой финансовой операцией является кредитование.
Субъекты рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Ситуация выдачи ссуды на 1 год представлена на рис. 1
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Таким образом:
1. Финансовая математика представляет собой совокупность методов определения изменения стоимости денег, происходящего вследствие их возвратного движения в процессе воспроизводства.
2. Финансовая математика – это раздел количественного анализа финансовых операций, предметом которого является изучение функциональных зависимостей между параметрами коммерческих сделок или финансово-банковских операций и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Объект финансовой математики
Объектом изучения финансовой математики является финансовая операция, в которой необходимость использования финансово-экономических вычислений возникает всякий раз, когда в условиях сделки (финансовой операции) прямо или косвенно присутствуют временные параметры: даты, сроки выплат, периодичность поступления денежных средств, отсрочка платежей и т.д.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Задачи финансовой математики:
измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;
разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности;
измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров;
определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Фактор времени в финансово-экономических расчетах
В финансово-экономических расчетах фактор времени играет наиболее важную роль в сравнении со стоимостными характеристиками финансовой операции.
Именно время определяет конечный финансовый результат.
Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы «сегодня» и «завтра» оцениваются по-разному: сегодняшние деньги ценнее будущих.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени:
1. деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, т.е. деньги могут быть инвестированы и тем самым приносить доход.
2. инфляционные процессы ведут в обесцениванию денег во времени (сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, т.к. цены на товары повысятся).
3. неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег (сегодня рубль в руке уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра – еще вопрос).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Для корректировки арифметического сопоставления величин разновременных затрат/доходов используются финансовые коэффициенты, основанные на формулах начисления процентов, приводят к одному и тому же моменту времени.
Приведение более ранней суммы к эквивалентной ей величине в другой момент времени в будущем производится путем умножения на коэффициент наращения.
Начисление процентов производится дискретно за фиксированные одинаковые интервалы времени («периоды начисления»).
Период начисления – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Период времени от начала финансовой операции до ее окончания называется сроком финансовой операции.
В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако возможны и другие единицы: полугодие, квартал, месяц и т.п.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

1.1. Изменение стоимости вложений за счет присоединения процентов
Рассмотрим процесс наращения, т.е. определения денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас.
Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции.
Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины инвестиции PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов r (рис. 2).
Рис. 2. Логическая схема операции наращения.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок (рис. 3).
Рис. 3. Типы процентных ставок.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Характеристика типов процентных ставок
Простая процентная ставка – применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.
Сложная процентная ставка – применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов (таким образом, исходная база постоянно увеличивается).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Плавающая процентная ставка – ставка, привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.
Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа (суммы) в финансовых контрактах.
Характеристика типов процентных ставок
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода ссуды.
Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.
Характеристика типов процентных ставок
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

1.2. Основные категории финансово-экономических расчетов
В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины.
В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины:
время (n);
современная величина (PV);
наращенная или будущая величина (FV);
процентная ставка (r).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Основные обозначения:
n – срок погашения долга (анг. number of periods) – интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть.
Срок измеряется числом расчетных периодов – обычно равных по длине подинтервалов времени, в конце которых начисляются проценты.
Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день и т.п.
Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день.
Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок погашения долга – n, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит:
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

PV – текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
FV – будущая стоимость (англ. future value) – наращенная сумма или будущая стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

I – процентные деньги (англ. interest money), называемые кратко «проценты», представляют собой абсолютный доход от предоставленного долга: I = FV – PV .
Оценка эффективности финансовых операций по величине процентных денег на практике используется редко, т.к. данная величина не учитывает фактор времени и не может сказать о реальной доходности организации.
Необходимо иметь возможность сопоставить ее с темпом обесценивания денег (инфляции) или результатами другой финансовой операции.
В финансово-экономических расчетах используются относительные показатели – r – процентная ставка.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

r – процентная ставка (англ. rate of interest), характеризующая интенсивность начисления процентов за единицу времени, - отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды.
Данный показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах:
Коэффициент показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначально вложенной суммы, т.е. является базисным темпом роста.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Если соотнести сумму процентов (FV - PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV, наращенной по мере присоединения процентов, то получим другую меру эффективности – темп снижения
называемую учетной ставкой, или дисконтный множитель (норма банковского дисконтирования).
Дисконтирование – определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.
Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Дисконтирование – это приведение денег к текущему моменту времени, а дисконтный множитель (d) показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начисления процентов:
в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:
в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

При равной величине процентных денег
(I = FV - PV) величина процентной ставки выше величины учетной ставки.
В случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, - приведенная величина FV по процентной ставке меньше ее значения по учетной ставке.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Процентная ставка может быть легко вычислена по известной величине учетной ставки:
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Пример 1.
Вы заняли сегодня 100 руб., дав обязательство вернуть к указанной дате 120 руб.
Оценим доходность этой сделки для кредитора величинами процентной (r) и учетной (d) ставок, приняв весь период между двумя моментами времени за полный срок договора, приняв его за единицу времени n=1.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
PV=100 руб., FV=120 руб.
I = (FV – PV)=120 – 100 = 20 руб.
r = 20/100=20%
d = 20/120 = 16,67%
Решение

Пример 2.
Вы обратились к кредитору с просьбой о займе 100 руб. (PV) на срок 1 год (n = 1). Какую сумму сможет получить кредитор по окончании срока займа при процентной и учетной ставке = 20%?
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение
Из формул начисления процентов по процентной и учетной ставке:
FV проц = PV*(1+r)
FV учетн = PV/(1-d)
Откуда при r = d = 0,2
FV проц = 100 руб.*(1+0,2) = 120 руб.
FV учетн = 100 руб./(1-0,2) = 125 руб.

2. Простые проценты
Пусть кредитор и заемщик договариваются о величине кредита PV (первоначальная денежная сумма), размере годовой процентной ставки (r), сроке кредита (T) и длительности периода начисления процентов (n).
Математическая модель задачи представлена в виде модели простых процентов.
В данной модели накопление наращенной суммы FV (общей суммы долга) происходит за счет периодического (например, ежегодного) начисления процентных денег (I).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Процентные деньги – это разность между первоначальной денежной суммой PV и наращенной денежной суммой FV:
I = FV – PV.
Таким образом, наращенная сумма равна:
к концу первого года:
к концу второго года:
к концу n-го года:
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Таким образом, накопление суммы происходит по схеме простых процентов и образует возрастающую числовую последовательность:
которая представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом PV и разностью прогрессии I = FV – PV.
При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Рис. 4. Наращивание первоначальной суммы по схеме простых процентов.

Таким образом, размер ожидаемой наращенной суммы долга (дохода) зависит от трех факторов:
величины инвестированной суммы;
уровня процентной ставки;
срока финансовой операции.
В общем случае, модель накопления капитала по схеме простых процентов имеет вид:
Учитывая, что I = PV*r, модель простых процентов можно записать в виде:
где kн коэффициент наращения.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

2.1. Временная база финансовой операции
В банковской практике разных стран расчетное число дней в году при начислении процентов определяется по-разному.
Срок ссуды n может быть как целым, так и дробным положительным числом.
Если срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:
1) Если срок ссуды выражен в месяцах (M), то величина n выражается в виде дроби:
2) Если время выражено в днях (t), то величина n выражается в виде дроби:
где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;
T – расчетное число дней в голу (временная база).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Временную базу (T) можно представить по-разному:
1) условно состоящую из 360 дней – т.н. обыкновенный или коммерческий процент.
2) действительное число дней в году (365 или 366 дней) – т.н. точный процент.
Число дней ссуды (t) также можно определить по-разному:
1) условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца 30 дней, оставшиеся дни считают точно. В результате получают т.н. приближенное число дней ссуды.
2) используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, - в результате получают точное число дней ссуды.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчет простых процентов производится одним из трех способов:
1) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика расчета): продолжительность года условно принимается 360 дней, а продолжительность месяца – 30 дней.
Используется в Германии, Дании, Швеции.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

2) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика расчета): продолжительность года – 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывают точно по календарю.
Используется во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии.
3) Точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика расчета): продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю.
Используется в Португалии, Англии, США.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

2.2. Переменная ставка
Ставка процентов не является застывшей величиной, в финансовых операциях используются и дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки (например, наличие инфляции вынуждает собственника периодически варьировать процентной ставкой).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Если на последовательных интервалах начисления процентов n1, n2, n3, … nm устанавливаются разные процентные ставки r1, r2, r3, …, rm, то наращенная сумма вычисляется по формуле:
где коэффициент наращения (kн) вычисляется по формуле:
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Пример 1.
Сумма в размере 2000 руб. дана в долг на 1 год по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
Наращенная сумма: FV = PV(1+n*r) = 2000(1+1*0,1) = 2200 руб.
или
FV = PV*kн = 2000*1,1 = 2200 руб.
Сумма начисленных процентов:
I = PV*n*r = 2000*1*0,1 = 200 руб.
или
I = FV – PV = 2200 – 2000 = 200 руб.
Таким образом, через год нужно вернуть 2200 руб.: 2000 руб. – долг и 200 руб. – «цена долга» (процентные деньги).

Пример 2.
Ссуда выдана под 10% годовых сроком:
1) на 5 месяцев;
2) на 3 месяца.
Определить процентную ставку за срок ссуды.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
1) n = 5/12 = 0,42
r 5 мес = 0,1*5/12 = 0,0417;
2) n = 3/12 = 0,25;
r 3 мес = 0,1*3/12 = 0,025.

Пример 3.
Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой процентной ставке 14% годовых. Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
Наращенная сумма:
FV = PV(1+n*r) = 50000*(1+0,5*0,14) = 53500 руб.
Сумма начисленных процентов:
I = FV – PV = 53500 – 50000 = 3500 руб.

Пример 4.
Определить сумму вклада, который надо положить в банк сроком на 2 месяца под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 110000 руб.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
PV = 110000/(1+0,1*2/12) = 108196,7 руб.

Пример 5.
Клиент внес вклад в банк в сумме 1 тыс. руб. сроком на 1 год. Процентная ставка до середины второго квартала составляла 30% годовых, далее до конца третьего квартала – 25%, а с начала четвертого квартала – снова 30%. Какую сумму получил клиент в конце года?
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Решение:
1) с начала года до середины второго квартала (n1) равен 4,5 месяца или 4,5/12 = 0,375 года.
2) от середины второго квартала до конца третьего (n2) равен 4,5 месяца или 4,5/12 = 0,375 года.
3) с конца третьего квартала и до конца четвертого (n3) равен 3 месяца или 3/12 = 0,25 года.
Коэффициент наращения:
1) за период до середины второго квартала:
k1 = 0,3*0,375 = 0,113
2) от середины второго квартала до начала четвертого квартала:
k2 = 0,25*0,375 = 0,094
3) за четвертый квартал:
k3 = 0,3*0,25 = 0,075
4) за год
kгод = k1 + k2 + k3 = 0,113 + 0,094 + 0,075 = 0,281.
В результате в конце года клиент получит сумму:
FV = PV*(1+ kгод) = 1281,25 руб.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

2.3. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
Иногда в финансово-экономических расчетах срок финансовой операции в условиях конкретной финансовой сделки не может быть оговорен заранее.
Аналогично возникает ситуация и с неопределенностью процентной ставки (например, при заключении сделки нас интересует только величина вложения PV и полученная сумма FV).
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Срок финансовой операции может быть определен так
1) при определении срока в годах:
2) при определении срока в днях:
Процентная ставка может быть определена как
26.10.2015
Основы финансовых вычислений

Пример 1.
За какое время может быть накоплена сумма в 2000 долларов, если сегодня мы можем оформить депозитный вклад 1000 долларов под 8% годовых?
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
n = (FV – PV)/(PV*r) = (2000 – 1000)/(1000*0,08) = 12,5 года.

Пример 2.
На сколько дней можно дать в долг 1000 долларов, исходя из 8% годовых, если возвращенная сумма должна составлять 1100 долларов?
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
t = [(FV – PV)/(PV*r)]*T = ((1100 – 1000)/(1000*0,08))*360 = 450 дней

Пример 3.
В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме 1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1150 долларов. Определить доходность операции для кредитора в виде процентной ставки.
26.10.2015
Основы финансовых вычислений
Решение:
Рассчитаем годовую процентную ставку, используя формулу «обыкновенного процента» , т.к. нет ссылки на точный процент:
r = [(FV – PV)/(PV*t)]*T = [(1200-1150)/(1150*120)]*360 = 0,13.