Плоскость. Задание плоскости на чертеже. Точка и прямая в плоскости презентация

План лекции

1. Задание плоскости на чертеже
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
1. Тремя точками;
На чертеже плоскость может быть задана:
2. Прямой и точкой вне ее;
3. Пересекающимися прямыми;
4. Параллельными прямыми;
5. Плоской фигурой
(в частности треугольником);
6. Следом плоскости.

Определение: След плоскости - линии пересечения плоскости с плоскостями проекций.
O
П2
П1
П3
X
Y
Z
Q
QZ
QП2
QX
QП1
QY
QП3
1. Задание плоскости на чертеже

Чертеж плоскости заданной следами
O
X
QZ
QП2
QX
QП1
QYП1
QП3
QYП3
YП3
YП1
Z
1. Задание плоскости на чертеже

Построение следов плоскости, заданной пересекающимися прямыми.
O
П2
П1
П3
X
Y
Z
Q
QZ
QП2
QX
QП1
QY
QП3
N1
M2
N’1
M’2
1. Задание плоскости на чертеже

X
Построение следов плоскости, заданной пересекающимися прямыми.
N1
N’1
N2
N’2
QП1
M1
M’1
M2
M’2
QП2
QX
1. Задание плоскости на чертеже

2. Точка и прямая в плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости:
Прямая принадлежит плоскости, если:
1) она проходит через две точки, лежащие в данной плоскости:
или
2) она проходит через точку, принадлежащую плоскости, параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости:

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
1. (A1): K2 ∈ A212;
Дано: ΔАВС, K2, N1
Построение недостающих проекций точек, принадлежащих плоскости.
Найти: K1, N2
Решение:
K2
N1
12
11
K1
2. (C2): N1 ∈ C121;
21
22
N2
2. Точка и прямая в плоскости

3. Положение плоскости в пространстве
Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.
Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются плоскостями частного положения.

Плоскости частного положения
Уровня –
это плоскости
параллельные
плоскости проекций
Горизонтально-
проецирующие –
это плоскости
перпендикулярные
горизонтальной
плоскости проекций П1
Профильно-
проецирующие –
это плоскости
перпендикулярные
профильной
плоскости проекций П3
Фронтально-
проецирующие –
это плоскости
перпендикулярные
фронтальной
плоскости проекций П2
Горизонтальные –
это плоскости
параллельные
горизонтальной
плоскости проекций П1
Профильные –
это плоскости
параллельные
профильной
плоскости проекций П3
Фронтальные –
это плоскости
параллельные
фронтальной
плоскости проекций П2
Проецирующие –
это плоскости
перпендикулярные
плоскости проекций
3. Положение плоскости в пространстве

O
Проецирующие плоскости
П2
П1
П3
X
Y
Z
QП2
QX
QП1
QY
QП3
A1
K
K1
A
B
C
B1
C1
1. Если фигура перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в прямую линию;
2. Углы наклона плоскости к двум другим плоскостям проекций проецируются на эту плоскость в натуральную величину.
3. Положение плоскости в пространстве

Горизонтально-проецирующая плоскость
QП2
QX
QП1
A1
K2
K1
B1
C1
X
А2
B2
C2
Q ⊥ П1
β
γ
β-угол наклона плоскости DАВС к плоскости проекций П2;
γ-угол наклона плоскости DАВС к плоскости проекций П3.
т. К∈{DАВС}.
3. Положение плоскости в пространстве

Фронтально-проецирующая плоскость
PП2
PX
PП1
A1
K2
K1
B1
C1
X
А2
B2
C2
P ⊥ П2
a
g
a-угол наклона плоскости ΔАВС к плоскости проекций П1;
g-угол наклона плоскости ΔАВС к плоскости проекций П3.
т. К∈{ΔАВС}.
3. Положение плоскости в пространстве

O
Плоскости уровня
П2
П1
П3
X
Y
Z
QП2
QZ
QП3
A1
B1
C1
1. Если плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину;
2. Проекции фигуры на две другие плоскости проекций – прямые, параллельные координатным осям .
B
C
A
A2
С2
В2
3. Положение плоскости в пространстве

Горизонтальная плоскость
QП2
A1
K2
K1
B1
C1
X
А2
B2
C2
Q // П1
т. К∈{ΔАВС}.
т. M∈{ΔАВС}.
M2
M1
3. Положение плоскости в пространстве
н.в.

Фронтальная плоскость
РП1
A2
K1
K2
B2
C2
X
А1
B1
C1
Р // П2
т. К∈{ΔАВС}.
т. M∈{ΔАВС}.
M1
M2
3. Положение плоскости в пространстве
н.в.

Главные линии плоскости
Линии наибольшего
наклона –
это линии плоскости
определяющие угол
наклона плоскости к
плоскостям проекций
Горизонталь
Профильная
прямая
Фронталь
Линии уровня –
это линии плоскости
параллельные
плоскостям проекций
4. Главные линии плоскости

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
1. (A212)// OX;
Горизонталь плоскости - прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1.
12
11
2. (A111): 11 ∈ В1С1;
(A1) // П1 – горизонталь.
(A111) – натуральная величина отрезка горизонтали (А1).
Построить:
Решение:
Н.В.
4. Главные линии плоскости

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
1. (С121)// OX;
Фронталь плоскости - прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П2.
22
21
2. (С222): 22 ∈ А2В2;
(С2) // П2 – фронталь.
(С222) – натуральная величина отрезка фронтали (С2).
Построить:
Решение:
Н.В.
4. Главные линии плоскости

Z
А2
В2
А3
В3
С2
С3
1. (В232)// OZ;
Профильная прямая плоскости - прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций П3.
32
33
2. (B333): 33 ∈ А3C3;
(B3) // П3 – профильную прямую.
(B333) – натуральная величина отрезка профильной прямой (B3).
Построить:
Решение:
Н.В.
4. Главные линии плоскости

O
П2
П3
X
Y
Z
QZ
QП2
QX
QП1
QY
QП3
N=N1
Линия ската – прямая линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций П1, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонтали этой плоскости.
Q
h
П1
M=M2
90º
ϕ
1. h: hϵQ; h // П1
2. Р: P⊥Q; P⊥П1
3. NM=P∩Q
NM⊥h, т.к. Р⊥h
4. ∠ϕ - угол наклона плоскости Q к плоскости проекций П1
NM – линия ската
4. Главные линии плоскости

5. Преобразование чертежа плоскости
1. проецирующую плоскость;
2. плоскость уровня.
Плоскость общего положения может быть преобразована в:

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
5. Преобразование чертежа плоскости
П2
Х1
П1
П4
А4=14
П1
ZА=Z1
Н.В.
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
12
11
1. (A1): (A1)ϵ{ΔABC};
(A1)-горизонталь
2.
3. ΔA4B4C4
В4
С4
ZА=Z1

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня
5. Преобразование чертежа плоскости
П2
Х1
П1
П4
А4
П1
ZА
Н.В.
X
А2
В2
А1
С2
С1
1.
2. |ΔA4B4C4|=|ΔABC|
В4
С4
ZА
В1
П4//{ΔA1B1C1},
Х1//{ΔA1B1C1}
ZB
ZB
ZC
ZC

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня
5. Преобразование чертежа плоскости
П2
Х1
П1
П4
А4
П1
ZА
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
h2
h1
1.
В4
С4
ZА
2.
П5//(A4B4C4)
П5
П4
ΔА
ΔА
А5
B5
C5
Н.В.
Х2