Задачи из пособия Р. К. Гордина презентация

п. 1 Медиана прямоугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна с и . Найти все медианы в этом треугольнике.
Дано: Δ АВС, , АВ=с,
СМ, АК, ВN - медианы
Найти: СМ, АК, ВN

Решение:
Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, медиана СМ равна
Из треугольника АКС, угол С - прямой
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСК находим, что
Аналогично находим медиану ВN=
Ответ: ; ;

Пример 1. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15⁰ , если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна1. Дано: Δ АВС, , СН - высота , СН=1
М
Найти: АВ
Решение:
Проведём медиану СМ. Тогда
как внешний угол треугольника АМС.
Медиана СМ равна половине
гипотенузы АВ.
Из прямоугольного треугольника СМН с острым углом 30 ⁰ и
противолежащим ему катетом следует СМ=2СН=2, АВ=2СМ=4
Ответ: АВ=4

Пример 2. Через основание биссектрисы АD равнобедренного треугольника АВС с вершиной В проведён перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающий прямую АС в точке Е. Найдите отрезок АЕ, если известно, что СD=4
Дано: ∆ АВС, АВ=ВС
АD-биссектриса, АD и DЕ
перпендикулярны, СD=4
Найти: АЕ
Решение:
Отметим середину М
отрезка АЕ. Отрезок
DМ – медиана прямоугольного треугольника АDЕ, проведённая из вершины прямого угла, поэтому АМ=DМ=МЕ. Обозначим . По теореме о внешнем угле треугольника:
значит треугольник СDМ равнобедренный. Следовательно, АЕ=2DМ=2DС=8. Ответ: 8
Е

Подготовительные задачи
1.1 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. найдите радиус описанной окружности.
Дано: Δ АВС,
АВ =4
Найти: R
Решение:
По условию треугольник прямоугольный, значит гипотенуза – диаметр описанной окружности и R=2. Ответ: 2
В
С
А