Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве презентация

Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о
а
b
с
а ⊥ b
c ⊥ b
α

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
A
C
a
α
M
b
c
Дано: а || b, a ⊥ c
Доказать: b ⊥ c
Доказательство:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
α
а
а ⊥ α

Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
α
х
Дано: а || а1; a ⊥ α
Доказать: а1 ⊥ α
Доказательство:

Теорема 2
α
Доказать: а || b
Доказательство:
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а ⊥ α; b ⊥ α
M
с

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
α
q
Доказать: а ⊥ α
Доказательство:
p
m
O
Дано: а ⊥ p; a ⊥ q
p ⊂ α; q ⊂ α
p ∩ q = O

α
q
l
m
O
a
p
B
P
Q
Доказательство:
L
а) частный случай
A

α
q
a
p
m
O
Доказательство:
а) общий случай
a1

Теорема 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
α
а
М
b
с
Доказать:
1) ∃ с, с ⊥ α, М ∈с;
2) с – !
Доказательство:
Дано: α; М ∉α