Презентации по Геометрии

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №12 Повторение (3) Ответ: 45. Найти угол АВС (в градусах) В С А Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС Получим прямоугольный равнобедренный треугольник ⇒ ∠С=∠В=45⁰ по свойству острых углов прямоугольного треугольника Повторение (подсказка) Треугольник называется прямоугольным, если в нем имеется прямой угол В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰

Перпендикулярность прямой и плоскости Опр. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º. Лемма Если одна из 2-х параллельных прямых, перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. М с Доказательство Дано: АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед, ∠ДАВ=900, ∠АА1В1=900 , ∠А1Д1Д=900 Доказать:1) ; 2) ; 3) ; 4) . Задача №1

При построении сечения фигуры плоскостью необходимо помнить: Через любые две точки плоскости проходит прямая и притом только одна. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны В А С D D1 А1 B1 C1 2) пл.(ВB1C1С): ВК ∩ C1С = Р K Р М 3) пл. (D D1 C1С): DР ∩ D1C1 = М 4) пл. (А1В2С1D1): прямая МК пл. (АВСD): ВD прямая Задача 1. АВСDA1B1C1D1 – четырехугольная призма. Точка К принадлежит ребру В1С1. Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.

ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ

Цель урока: Систематизация и совершенствование знаний учащихся по теме: «Параллельные прямые». Задачи: Осмысление условий применения признаков и свойств параллельных прямых (научиться увидеть, когда в задаче нужно применить признак, а когда свойство); Развитие грамотной математической речи, используя специальную терминологию; Формирование операций пространственного и логического мышления. Дополнительный бонус Критерий оценок: «5» - 8 бонусов «4» - 6 бонусов

Теорема В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов выражается формулой Доказательство. По теореме косинусов: АВ²=АО²+ВО²-2АО·ВО·соsα. АВ = ОА = ОВ =

Ь Р Какое из тел имеет больший объём: прямоугольный параллелепипед с измерениями 2 см, 3 см и 4 см или куб с ребром 3 см? Объём параллелепипеда : 2 х 3 х 4 = 24 Объём куба : 3 х 3 х 3 = 27 24

Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времён «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» - трёх признаках равенства треугольников. Исторический материал Любой геометрический материал возникает из потребностей окружающей жизни. Доказательство признаков равенства треугольников приписывают древнегреческому ученому Фалесу Милетскому (жившему ок.625-547г.г. до н.э.). Теорему о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней двум углам он использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей.

План: Определение скалярного произведения Скалярное произведение векторов в координатной форме Нахождение угла между векторами Определение скалярного произведения Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть: (1) где

Цели урока: Систематизировать теоретические знания по теме Совершенствовать навыки решения задач Развивать интерес к математике. Определение. Угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны угла пересекают окружность называется центральным. Свойство. Центральный угол равен дуге на которую он опирается Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Теорема. Вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается. Следствие1. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Следствие2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Что вы знаете о треугольнике? П Е Р В Ы Й О Т Б О Р О Ч Н Ы Й Т У Р ЧТО ОЗНАЧАЕТ ЛАТИНСКОЕ СЛОВО «ГРАДУС»?

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является  одновременно стороной другого (но только одного). Виды многогранников 1. Пирамида 2. Призма 3. Призматоид 4.   Тела Платона  Тетраэдр Гексаэдр Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр 5.   Звездчатые формы и соединения тел Платона Звездчатый октаэдр Малый звездчатый додекаэдр

Треугольник А . В . .С Точки А,В,С, Вершины треугольника, АВ, АС, СВ – стороны треугольника < АВС, < ВАС,

Сигнальные конуса Ракушки, конической формы

Упражнение 1 Сколько прямых проходит через две точки пространства? Ответ: Одна. Упражнение 2 Сколько плоскостей проходит через три точки пространства? Ответ: Одна, если три точки не принадлежат одной прямой; бесконечно много в противном случае.

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Теорема 3.1 Если две пересекающие прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. a b a1 b1 C C1 A A1 B B1 Задача № 3 (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см. А В С D Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC. АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см. 3 см 7 см 1,5 см Найти CD. ? Решение: 1) АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора АС2 = ВС2 – АВ2 = 49 – 9 = 40, АС = см. 2) АСD – также прямоугольный, по теореме Пифагора СD2 = AC2 + AD2 = = 40 + 2,25 = 42,25. CD = cм = 6,5 см. Ответ: CD = 6,5 см.

№1 Даны отрезки: АВ=12 см, СD=8 cм, ЕF=15 см, KL=30 см, MN=16 см, PQ=20 см. Найдите среди них пары пропорциональных отрезков. №2 Подобны ли треугольники ABC и DEF, в которых угол А=98°, угол В=44°, угол F=38°, угол D= 98°, АВ= 12, АС= 21, ВС= 30, DF=7, EF=10, DE= 4?

Планиметрия Стереометрия στερεός — «твёрдый, пространственный» μετρέω — «измеряю» Стереометрия

Задание. Разделите квадрат на две равные части несколькими способами. Проверка домашнего задания. Проверка. 1. Задачи на разрезание фигур. Разрежьте фигуру на рис. 1 на три равные части по линиям квадратной сетки. рис. 1 2. Разрежьте фигуру на рис. 2. по линиям сетки на: а) две равные части; б) три равные части. рис. 2 Участок земли составлен из пяти равных участков (см. рис. 3) Разделите его на четыре равных участка. рис. 3 П р о в е р ь с е б я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Многогранник, две грани которого - одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой. Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело). Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называют основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями. Поверхность призмы, таким образом, состоит из двух равных многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от числа вершин основания. ВСЕ ПРИЗМЫ ДЕЛЯТСЯ НА ПРЯМЫЕ И НАКЛОННЫЕ. (РИС. 2) Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Цель Где я могу видеть геометрические фигуры? Я знаю

А В С D О Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О, причём АО:ОС=ВО:ОD. Докажите, что АВСД –трапеция. Устно: Устно: С В А М N Точка М– середина стороны АВ, а точка N – середина стороны ВС треугольника АВС. Докажите, что отрезок МN параллелен стороне АС.

Прямоугольник, ромб, квадрат Определение прямоугольника Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые D А В С Прямоугольник – выпуклый четырехугольник Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма: АВ = СD, BC = AD O А0 = OС, BO = OD

Уравнение касательной «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления». Готфрид Вильгельм Лейбниц