Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда презентация

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

При этом необходимо учитывать следующее:
1. Соединять можно только две точки, лежащие
в плоскости одной грани.
Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.
2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.
3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?
Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться:
Четырехугольники
Треугольники

Треугольники
Параллелепипед имеет 6 граней
Четырехугольники
Шестиугольники
Пятиугольники
В его сечениях
могут получиться:

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K
Проведем прямую через
точки М и К, т.к. они лежат
в одной грани (АDC).
2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB).
3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN.
4. Треугольник MNK –
искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
E
F
K
L
A
B
C
D
M
1. Проводим КF.
2. Проводим FE.
3. Продолжим EF, продол- жим AC.
5. Проводим MK.
7. Проводим EL
EFKL – искомое
сечение
Правила

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
E
F
K
L
A
B
C
M
D
Какие точки можно сразу соединить?
С какой точкой, лежащей в той же грани можно соединить полученную дополнительную точку?
Какие прямые можно продолжить, чтобы получить дополнительную точку?
F и K, Е и К
ЕК и АС
С точкой F
Соедините получившиеся точки, лежащие в одной грани, назовите сечение.
ЕLFK
Правила
Второй способ

E
F
L
A
B
C
D
О
Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
K
Первый способ
Правила

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые.
Способ №1.
Способ №2.

A1
А
В
В1
С
С1
D
D1
M
N
Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N
O
К
Е
P
Правила
1. MN
2.Продолжим MN,ВА
4. В1О
6. КМ
7. Продолжим MN и BD.
9. В1E
5. В1О ∩ А1А=К
8. MN ∩ BD=E
10. B1Е ∩ D1D=P , PN
3.MN ∩ BA=O

A1
А
В
В1
С
С1
D
D1
Построить сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки M,A,D.
М
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – сечение.
E

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
H
K
Простейшие задачи.
1
2

О
А
В
С
D
Простейшие задачи.
3
4
О
А
В
С
D

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
Диагональные сечения.
5
6

Р
Проведем исследование с треугольной пирамидой.
Р
О
М
А
В
С
D
F
Треугольник
Четырехугольник
X

Проведем исследование с четырехугольной пирамидой.
Р
О
Т
А
В
С
М
D
Четырехугольник
Треугольник

О
Т
А
В
С
S
D
Проведем исследование с четырехугольной пирамидой.
X
Р
М
X
Пятиугольник

А
В
С
D
А1
D1
С1
N
H
K
F
X
Треугольник
Четырехугольник
Проведем
исследование
с параллелепипедом.
B1

K
А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
H
О
T
Пятиугольник
Проведем
исследование
с параллелепипедом.
Z
Y

А
В
С
А1
D1
С1
B1
S
D
T
К
N
M
Q
Шестиугольник
Проведем
исследование
с параллелепипедом.
Z
X
Y

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей,
то линии их пересечения параллельны.
Свойство
параллельных плоскостей.
Это свойство нам поможет
при построении сечений.

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
H
О
7
K

А
В
С
А1
D1
С1
B1
М
D
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью МNК.
N
К
О
R
8

О
9
Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т.М параллельно:
а) грани ВВ1С1С;
б) плоскости
основания АВСD;
в) изобразите
отрезок, по которому
эти сечения
пересекаются.
Дан наклонный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.

А
В
С
А1
D1
С1
B1
D
Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т.М параллельно:
г) плоскости ВDD1
М
9
Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.

K
А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
H
Блиц-опрос.
Верите ли вы, что прямые НК и ВВ1 пересекаются?

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
К
Н
Блиц-опрос.
Верите ли вы, что
прямые НК и ВВ1
пересекаются?

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются?
N
Р
Н
К
М
Блиц-опрос.
На чертеже есть
ещё ошибка!

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
Верите ли вы, что прямые НR и NK
пересекаются?
N
Н
К
Блиц-опрос.
R
На чертеже есть
ещё ошибка!

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
Пересекаются ли прямые НR и А1В1?
N
Н
К
Блиц-опрос.
R
Пересекаются ли прямые НR и С1D1?
Пересекаются ли
прямые NK и DC?
Пересекаются ли
прямые NK и АD?

О
М
А
В
С
D
Верите ли вы,
что прямые МО и АС
пересекаются?
Блиц-опрос.
Верите ли вы,
что прямые МО и АВ
пересекаются?

а
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Некоторые художники любят нарушать эту аксиому.

Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты.
Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков.
http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html
http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html
http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html
Это интересно!

Жос де Мей
"Такое может нарисовать только тот, кто делает
дизайн, не зная перспективы..."

Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх.
Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на том же этаже.
Лесенки здесь быть не может!
а
А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.

K
А
В
С
D
А1
D1
С1
N
H
О
Вернемся
к задаче
7
B1
Метод следов
X

Задание с ошибкой.
К
М
N
А
В
С
D
R
X
10

K
А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
H
О
Z
11
Y
X

А
В
С
А1
D1
С1
B1
S
D
T
К
N
M
Q
12
X
Y
Z

Р
О
Т
А
В
С
S
D
К
М
13
X

А
D
С
А1
B1
С1
D1
B
Е
а
P
14
Y
К
R
Q